Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri

Jumat, 25 November 2016 Tambah Komentar Edit

RPP [Rencana Pelaksanaan Pembelajaran]eksplorasiDing... Dong... waktunya istirahat... Ding... Dong... it's time to have break... soal latihan uji kompetensi buku matematikaJika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E)\ & 2a^{2}
\end{align}$1. Soal UM UGM 2006 (*Soal Lengkap)Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E)\ & \dfrac{a}{a-1}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:

$cos\ 2\theta=cos^{2}\theta-sin^{2}\theta$
$cos\ 4\theta=cos^{2}2\theta-sin^{2}2\theta$
$cos\ \theta=cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
$sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$
$sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
$sin\ 2\theta=2\ sin\ \theta\ cos\ \theta$
$sin\ 4\theta=2\ sin\ 2\theta\ cos\ 2\theta$
$sin\ \theta=2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta$

Data-data yang kita peroleh diatas kita substituskan ke soal,
$a=\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}$
$a=\dfrac{cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta \right )}$
$a=\dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}}$
$a=\dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )}$
$a\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )=\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )$
$a\ cos\frac{1}{2}\theta-a\ sin\frac{1}{2}\theta=cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta$
$a\ cos\frac{1}{2}\theta-cos\frac{1}{2}\theta=a\ sin\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta$
$cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right )=sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right )$
$\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )}=\frac{sin\frac{1}{2}\theta}{cos\frac{1}{2}\theta}$
$\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )}=tan\frac{1}{2}\theta$

2. Soal UM UGM 2009 (*Soal Lengkap)JIka $sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{sin\ A}{p-q}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$ \left (p-q \right )^{2}=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}-2pq=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+2pqA$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+sin^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

3. SIMAK UI 2015 Kode 302 (*Soal Lengkap)Diketahui $sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}+b \right) \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{(1-b^{2})}-b \right) \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{(1-b^{2})} \right) \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{3(1-b^{2})} \right) \\
(E)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$sin\ m=b$
dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$ sin^{2}\ m+cos^{2}\ m=1$
$ b^{2}+cos^{2}\ m=1$
$ cos\ m=\pm \sqrt{1-b^{2}}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$

$\begin{align}
& cos(10^{\circ}+\alpha) \\
& = cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\
& = cos(m-30^{\circ}) \\
& = cos\ m\ cos\ 30^{\circ} + sin\ m\ sin\ 30^{\circ} \\
& = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$

4. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)Jika $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(sin^{6}A+cos^{6}A \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;

$ sin^{2}(2A)+cos^{2}(2A)=1$
$ sin(2A)=2 sin\ A\ cos\ A$
$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
$(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
$a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
$a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$

$\begin{align}
& \left(sin^{6}A+cos^{6}A \right) \\
& = (sin^{2}A+cos^{2}A)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( sin^{2}A+cos^{2}A \right) \\
& = (1)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( 1 \right) \\
& = 1-3sin^{2}A\ cos^{2}A \\
& = 1-3(sin\ A\ cos\ A)^{2}
\end{align}$
Dari data yang kita punya yaitu $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ kita peroleh
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-cos^{2}(2A)}$
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)^{2}}$
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{9} \right) }$
$sin(2A)=\pm \sqrt{\dfrac{4}{9}}$
$2 sin\ A\ cos\ A=\pm \dfrac{2}{3}$
$sin\ A\ cos\ A=\pm \dfrac{1}{3}$
$\begin{align}
& 9 \left(sin^{6} A+cos^{6} A \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( sin\ A\ cos\ A\ \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \pm \dfrac{1}{3} \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \dfrac{1}{9} \right) \right) \\
& = 9 \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) \\
& = 9 \left( \dfrac{2}{3} \right) \\
& = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

5. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}=tan\ 2x-sec\ 2x \\
(2)\ & tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\
(3)\ & \dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\
(4)\ & \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x=sin\ 8x
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;
$\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}$
$=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x} \times \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x+sin\ x}$
$=\dfrac{cos^{2}x+sin^{2}x+2sin\ x\ cos\ x}{cos^{2}x-sin^{2}x}$
$=\dfrac{1+2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+tan(2x) \neq tan\ 2x-sec\ 2x $
Pernyataan $(1)$ Salah.

$\dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+tan(2x)$
$=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}$
$=\dfrac{1+\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}{1-\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}$
$=\dfrac{1+tan\ x}{1-tan\ x}$
$=\dfrac{tan\ \frac{\pi}{4}+tan\ x}{tan\ \frac{\pi}{4}-tan\ x}$
$=tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)$
Pernyataan $(2)$ Benar.

$\dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x +sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (cos\ x +sin\ x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{(cos\ x -sin\ x)(cos\ x +sin\ x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{cos^{2} x -sin^{2} x}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{1-2sin^{2} x} \neq -1$
Pernyataan $(3)$ Salah.

$\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cos\ 2x}{2sin\ 2x} - \dfrac{sin\ 2x}{2cos\ 2x}-cos\ 8x\ \dfrac{cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{2cos^{2} 2x-2sin^{2} 2x}{4sin\ 2x\ cos\ 2x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{2cos\ 4x}{2 sin\ 4x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x-cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\left (1-cos\ 8x\ \right )}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\left (sin^{2}4x+cos^{2}4x-cos^{2}4x+sin^{2}4x \right )}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\ 2sin^{2}4x}{sin\ 4x} $
$=2sin 4x\ cos\ 4x\ $
$=sin\ 8x$
Pernyataan $(4)$ Benar.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

6. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2sin^{2}x-cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\
(C)\ & \pi \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(E)\ & 2\pi
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$2sin^{2}x-cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $sin^{2}x=1-cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan dapat kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-cos^{2})-cos\ x & =1 \\
2-2cos^{2}-cos\ x & =1 \\
2cos^{2}+cos\ x-2+1 & = 0 \\
2cos^{2}+cos\ x-1 & = 0 \\
(2cos\ x -1)(cos\ x +1) & = 0 \\
\hline
2cos\ x -1 & = 0 \\
cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\
\hline
cos\ x +1 & = 0 \\
cos\ x & = -1 \\
x_{2} & = \pi \\
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)Jika sudut $\alpha$ memenuhi:
$cos^{2}\alpha+2 sin\left ( \pi-\alpha \right )=sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1\frac{1}{2}$ maka $sin\ \alpha=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
(D)\ & \sqrt{3} \\
(E)\ & 1
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

$sin\left ( \pi-\alpha \right )=sin\ \alpha$
$sin\left ( \pi+\alpha \right )=-sin\ \alpha$
$cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha$

$\begin{align}
cos^{2}\alpha+2 sin\left ( \pi-\alpha \right ) & = sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1 \dfrac{1}{2} \\
1-sin^{2}\alpha+2 sin\ \alpha & = sin^{2}\alpha +1 \dfrac{1}{2} \\
2sin^{2}\alpha - 2 sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} & = 0 \\
sin^{2}\alpha - sin\ \alpha - \dfrac{1}{4} & = 0 \\
\left ( sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} \right )^{2} & = 0 \\
sin\ \alpha & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)Diketahui segitiga $ABC$ mempunyai panjang sisi $AC=b\ cm$, $BC=a\ cm$, $a+b=12\ cm$. Jika sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$, maka panjang sisi $AB=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12\sqrt{3}-12 \\
(B)\ & 12\sqrt{3}-12 \\
(C)\ & 12-6\sqrt{3} \\
(D)\ & 12+6\sqrt{3} \\
(E)\ & 12\sqrt{3}+12
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, karena sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras.

atatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Tri Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri

Dari segitiga $ABC$ dan $a+b=12$ kita peroleh:
$\begin{align}
tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{b}{a} \\
\sqrt{3} & = \dfrac{a}{b} \\
a & = b\sqrt{3} \\
\hline
b\sqrt{3}+b & = 12 \\
b \left( \sqrt{3}+1 \right) & = 12 \\
b & = \dfrac{12}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\
& = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\
a & = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \cdot \sqrt{3} \\
& = 6 \left(3-\sqrt{3} \right)
\end{align}$

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} & = a^{2}+b^{2} \\
& = (a+b)^{2}-2ab \\
& = 12^{2}-2 \cdot 6 \left(3-\sqrt{3} \right) \cdot 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\
& = 144-72 \left( 3\sqrt{3} -3-3+\sqrt{3} \right) \\
& = 144-72 \left( 4\sqrt{3} -6 \right) \\
& = 144-288\sqrt{3} +432 \\
& = 576-288\sqrt{3} \\
AB & = \sqrt{ 576-288\sqrt{3} } \\
& = \sqrt{ 144 (4-2\sqrt{3} ) } \\
& = 12 \sqrt{4-2\sqrt{3}} \\
& = 12 \sqrt{(3+1)-2\sqrt{3\cdot 1}} \\
& = 12 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \\
& = 12 \sqrt{3} - 12
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{3}-12$

9. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)Jika $cos\ x=2sin\ x$, maka nilai $sin\ x\ cos\ x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
cos\ x &= 2sin\ x \\
\dfrac{cos\ x}{sin\ x} &= 2 \\
cot\ x &= \dfrac{2}{1}
\end{align}$
Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

Dari segitiga $ABC$ dan defenisi perbandingan trigonometri maka kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
sin\ x\ \cdot cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{5}$

10. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)Diketahui bahwa $\sqrt[3]{sin^{2}x}+\sqrt[3]{cos^{2}x}=\sqrt[3]{2}$, maka $cos^{2}2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{27} \\
(B)\ & \dfrac{8}{27} \\
(C)\ & \dfrac{9}{27} \\
(D)\ & \dfrac{25}{27} \\
(E)\ & 1
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=sin^{2}x+cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang dapat kita lakukan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
m+n & = \sqrt[3]{2} \\
(m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\
1+3\cdot \sqrt[3]{sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\
3\cdot \sqrt[3]{2sin^{2}x\ cos^{2}x} & = 2-1 \\
\sqrt[3]{2sin^{2}x\ cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\
2sin^{2}xcos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\
\hline
sin\ 2x & = 2sin\ x\ cos\ x \\
\dfrac{1}{2}sin\ 2x & = sin\ x\ cos\ x \\
\hline
2 \left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\
2 \left( \dfrac{1}{2}sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\
2 \cdot \dfrac{1}{4}sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\
\dfrac{1}{2} \left(1-cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\
1-cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\
1-\dfrac{2}{27} & = cos^{2}2x \\
\dfrac{25}{27} & = cos^{2}2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{25}{27}$

11. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $cos^{6}x + sin^{4}x-1 \geq 4x^{4}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\
(C)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\
(D)\ & \dfrac{\pi}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\
(E)\ & 0 \lt x \lt \infty
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
cos^{6}x + sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\
cos^{6}x + sin^{4}x-sin^{2}x - cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{6}x- cos^{2}x + sin^{4}x-sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + sin^{2}x \left( sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + sin^{2}x \left( cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x \left(cos^{4}x-cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x \left(cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x\ sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x\ sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\
\left( cos^{2}x\ sin\ x - 2x^{2} \right)\left( cos^{2}x\ sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\
\end{align}$
Pembuat nol
$\begin{align}
cos^{2}x\ sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\
cos^{2}x\ sin\ x & = 2x^{2} \\
x & = 0 \\
\hline
cos^{2}x\ sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\
cos^{2}x\ sin\ x & = -2x^{2} \\
x & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

12. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)Jika diketahui bahwa $2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} = 3 \cdot 2^{-cos\ 2\pi}$, nilai $x$ adalah ....
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\pi}{2} \\
(2)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(3)\ & \dfrac{3\pi}{2} \\
(4)\ & \pi
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-cos\ 2\pi} \\
2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\
2 \cdot 2^{cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{2cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{2cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
\left( 2^{cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{cos^{2}x} - 3 & = 0 \\
\hline
m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\
(m+3)(m-1) & = 0 \\
m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\
\hline
\Rightarrow 2^{cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\
\Rightarrow 2^{cos^{2}x} & = 1 \\
2^{cos^{2}x} & = 2^{0} \\
cos^{2}x & = 0 \\
x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)Diketahui bahwa $\dfrac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin\ x\ cos\ x}=a$, maka $cot^{2}x+tan^{2}x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & a^{2}+2 \\
(B)\ & a^{2}+1 \\
(C)\ & a^{2} \\
(D)\ & 1-a^{2} \\
(E)\ & 2-a^{2} \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
\dfrac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin\ x\ cos\ x} & = a \\
\dfrac{cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot sin\ 2x} & = a \\
\dfrac{cos\ 2x}{sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\
cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a
\end{align}$
Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

$\begin{align}
cot^{2}x+tan^{2}x & = \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x}+\dfrac{sin^{2}x}{cos^{2}x} \\
& = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{sin^{2}x-cos^{2}x} \\
& = \dfrac{\left( sin^{2}x+cos^{2}x \right)^{2}-2sin^{2}x\ cos^{2}x}{\left( cos^{2}x\ cos^{2}x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1-2 \left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2}}{\left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1-2 \left( \frac{1}{2} sin\ 2x \right)^{2}}{\left( \frac{1}{2}sin\ 2x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot sin^{2}2x}{ \frac{1}{4}sin^{2} 2x} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2} }{ \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}} \\
& = \dfrac{1- \frac{2}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{a^{2}+4}} \\
& = \dfrac{a^{2}+4-2}{a^{2}+4} \cdot \dfrac{a^{2}+4}{1} \\
& = a^{2}+2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{2}+2$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)Jika diketahui bahwa $cos\ \frac{1}{2} \theta =\sqrt{\dfrac{x+1}{2x}}$, maka $x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & tan^{2}\theta+sin^{2}\theta \\
(B)\ & tan^{2}\theta-sin^{2}\theta \\
(C)\ & sin^{2}\theta-cos^{2}\theta \\
(D)\ & cos^{2} \frac{1}{2}\theta+tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\
(E)\ & sin^{2} \frac{1}{2}\theta+tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\
cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\
2x \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\
2x \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\
x \left( 2 \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \dfrac{1}{ 2\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\
x & = \dfrac{1}{ 2\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - sin^{2} \frac{1}{2} \theta-cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\
x & = \dfrac{1}{ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\
x & = \dfrac{1}{ cos\ \theta}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}
& = \left( \dfrac{1}{ cos\ \theta} \right)^{2}- \left( cos\ \theta \right)^{2} \\
& = \dfrac{1}{ cos^{2} \theta} - cos^{2} \theta \\
& = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{\left( 1-cos^{2} \theta \right)\left( 1+cos^{2} \theta \right)}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta \cdot \left( 1+cos^{2} \theta \right)}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta}{cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+cos^{2} \theta \right) \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta}{cos^{2} \theta}+sin^{2} \theta \\
& = tan^{2} \theta +sin^{2} \theta \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ tan^{2}\theta+sin^{2}\theta$

15. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)Jika $1-cotan\ a=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $sin\ 2a+cos\ 2a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{25} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{6}{5} \\
(D)\ & \dfrac{31}{25} \\
(E)\ & \dfrac{7}{5}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
1-cotan\ a & = -\dfrac{1}{3} \\
1+\dfrac{1}{3} & = cotan\ a \\
\dfrac{4}{3} & = cotan\ a
\end{align}$
Jika $cotan\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;

$\begin{align}
& sin\ 2a+cos\ 2a
\\ & = 2\ sin\ a\ cos\ a + cos^{2}a-sin^{2}a \\
& = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} + \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\
& = \dfrac{24}{25} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} \\
& = \dfrac{31}{25}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{31}{25}$

16. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)Hasil penjumlahan semua penyelesaian $sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$ untuk $0 \lt x \lt 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(B)\ & 2\pi \\
(C)\ & \dfrac{8}{3}\pi \\
(D)\ & \dfrac{10}{3}\pi \\
(E)\ & \dfrac{14}{3}\pi
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus:
Jika $sin\ x = sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$

$\begin{align}
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
sin \left( x- 30 \right) &= sin\ 45 \\
\hline
x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\
x &= 75+k \cdot 360 \\
x &= 75 \\
\hline
x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\
x &= 165+k \cdot 360 \\
x &= 165
\end{align}$

$\begin{align}
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
sin \left( x- 30 \right) &= sin\ 225 \\
\hline
x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\
x &= 255+k \cdot 360 \\
x &= 255 \\
\hline
x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\
x &= -15+k \cdot 360 \\
x &= 345
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{14}{3}\pi$

17. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 (*Soal Lengkap)$cot\ 105^{\circ}\ tan\ 15^{\circ}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7+4\sqrt{3} \\
(B)\ & 7+4\sqrt{3} \\
(C)\ & 7-4\sqrt{3} \\
(D)\ & -7-4\sqrt{3} \\
(E)\ & -7+2\sqrt{3}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

$cot\ (90+\alpha)= -tan\ \alpha$
$tan\ (\alpha-\beta)= \dfrac{tan\ \alpha -tan\ \beta}{1+tan\ \alpha \cdot tan\ \beta}$

$\begin{align}
cot\ 105^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} & = cot\ \left( 90^{\circ}+15^{\circ} \right)\ tan\ 15^{\circ} \\
& = -tan\ 15^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} \\
& = -tan^{2} 15^{\circ} \\
& = - tan^{2}\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)\\
& = - \left( \dfrac{tan\ 45^{\circ}-tan\ 30^{\circ}}{1+tan\ 45^{\circ} \cdot tan\ 30^{\circ}} \right)^{2} \\
& = - \left( \dfrac{1- \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \right)^{2} \\
& = - \left( \dfrac{1+ \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}}{1+ \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{3} } \right)^{2} \\
&= - \left( \dfrac{ \frac{4}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}}{ \frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2+ \sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2+ \sqrt{3} } \cdot \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2- \sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 4-4 \sqrt{3}+3}{4-3} \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 7-4 \sqrt{3}}{-1} \right)\\
&= 7-4 \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7-4\sqrt{3}$

18. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 (*Soal Lengkap)Jika $sin\ \alpha -sin\ \beta =\sqrt{A}$ dan $cos\ \alpha +cos\ \beta =\sqrt{B}$, maka $cos(\alpha + \beta)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & A+B-1 \\
(B)\ & \dfrac{A+B-1}{2} \\
(C)\ & A+B-2 \\
(D)\ & \dfrac{A+B-2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{A+B-2}{4}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:

$cos\ \left(\alpha+\beta \right)= cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta$
$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha= 1$

$\begin{array} \\
sin\ \alpha -sin\ \beta =\sqrt{A} & \\
cos\ \alpha +cos\ \beta =\sqrt{B} & \\
\hline
sin^{2}\alpha +sin^{2}\beta-2\ sin\ \alpha\ sin \beta = A & \\
cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta = B & (+) \\
\hline
1+1-2\ sin\ \alpha\ sin \beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta=A+B \\
-2\ sin\ \alpha\ sin \beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta=A+B-2 \\
2\left(cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta \right)=A+B-2 \\
\left(cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2} \\
cos\ \left(\alpha+\beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{A+B-2}{2}$

19. Soal UMB 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)Perhatikan kurva fungsi trigonometri di bawah

Jika $f(x)=a+b\ sin\ cx$, maka $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 4\dfrac{1}{4}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

$A$ adalah Amplitudo
$T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
$(x\ \pm \theta)$, jika $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan jika $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
$\pm C$, jika $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan jika $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi naik maka fungsi adalah fungsi sinus.
Jika melalui titik $(0,0)$ lalu fungsi turun maka fungsi adalah fungsi cosinus.

Kita coba perhatikan gambar;

Kurva melalui titik $(0,2)$ lalu kurva turun, seharusnya adalah kurva cosinus, tetapi karena diinginkan menjadi $f(x)=a+b\ sin\ cx$ maka kurva adalah fungsi $f(x)=a-b\ sin\ cx$.
Kurva bergeser sejauh $+\ 2$ ke atas dari titik asal sehingga untuk $f(x)=a-b\ sin\ cx$ nilai $a=2$
Nilai Maksimum fungsi $f(x)=2-b\ sin\ cx$ adalah $4$ sehingga $\left | b \right | +2=4$ atau $b= 2$
Periode kurva $T=4\pi=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2}$
Kurva lengkap $f(x)=2-2\ sin\ \dfrac{1}{2}x$, nilai $a+b+c=2-2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

20. Soal UMB 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)Grafik fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$
$(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$
$(B)\ $ Terletak di atas sumbu $x$
$(C)\ $ Menyinggung sumbu $x$ di banyak titik
$(D)\ $ Memotong sumbu $x$ di banyak titik
$(E)\ $ Tidak memotong sumbu $y$Alternatif Pembahasan: show

Grafik Fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$.

Amplitudo adalah $-1$
Nilai Maksimum fungsi: $\left |-1 \right | - 2=-1 $
Nilai Minimum fungsi: $-\left |-1 \right | -2=-3$
Periode kurva $T=\dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4$

Grafik fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$ terletak di bawah sumbu $x$ karena nilai maksimumny adalah $-1$ dan nilai minimumnya adalah $-3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$

21. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Diketahui $A$ dan $B$ adalah sudut lancip yang memenuhi $tan\ (A+B)=\dfrac{1}{2}$ dan $tan\ (A-B)=\dfrac{1}{3}$. Nilai $tan\ A $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{2}+1 \\
(B)\ & \sqrt{2}-1 \\
(C)\ & -\sqrt{2}-1 \\
(D)\ & \dfrac{1}{12} \\
(E)\ & \dfrac{5}{12}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang Trigonometri yang mungkin membantu yaitu $tan\ (A+B)=\dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $tan\ (A-B)=\dfrac{tan\ A-tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B}$.

$\begin{align}
tan\ (A+B) &= \dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B} \\
1-tan\ A \cdot tan\ B &= 2tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\
\hline
tan\ (A-B) &= \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B} \\
\dfrac{1}{3} &= \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B} \\
1+tan\ A \cdot tan\ B &= 3tan\ A-3tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
1-tan\ A \cdot tan\ B = 2tan\ A+2tan\ B & (\times 3)\\
1+tan\ A \cdot tan\ B = 3tan\ A-3tan\ B & (\times 2)\\
\hline
3-3tan\ A \cdot tan\ B = 6tan\ A+6tan\ B & \\
2+2tan\ A \cdot tan\ B = 6tan\ A-6tan\ B & (-)/(+)\\
\hline
1-5tan\ A \cdot tan\ B = 12tan\ B & (-) \\
12tan\ B + 5tan\ A \cdot tan\ B = 1 & \\
tan\ B \left( 12 + 5 tan\ A \right) = 1 & \\
tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 tan\ A} & pers.(3)\\
\hline
5- tan\ A \cdot tan\ B = 12tan\ A & (+) \\
12tan\ A + tan\ A \cdot tan\ B = 5 & pers.(4)
\end{array} $

Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
12tan\ A + tan\ A \cdot tan\ B &= 5 \\
12tan\ A + tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 tan\ A} &= 5 \\
12tan\ A (12 + 5 tan\ A) + tan\ A &= 5 (12 + 5 tan\ A) \\
144 tan\ A + 60 tan^{2} A + tan\ A &= 60 + 25 tan\ A \\
144 tan\ A + 60 tan^{2} A + tan\ A -60 -25 tan\ A &= 0 \\
60 tan^{2} A+120 tan\ A - 60 &= 0 \\
tan^{2} A+2 tan\ A - 1 &= 0 \\
\end{align}$

Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah:
$\begin{align}
tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\
&= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\
&= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut lancip maka nilai $tan\ A$ adalah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2}-1 $

22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Diketahui $sin\ A=\dfrac{1}{a}$, $A$ adalah sudut tumpul. Nilai $cos\ A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \\
(B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \\
(C)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\
(D)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\
(E)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Masalah trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku lalu defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu:
$\begin{align}
sin^{2}A+cos^{2}A &=1 \\
cos^{2}A &=1-sin^{2}A \\
&=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\
&=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\
&=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\
&=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\
cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\
cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Karena $A$ adalah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $cos\ A$ bernilai negatif, $cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a}$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$ adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$

Aplitudo adalah $1$,
- Nilai maksimum adalah $1$ saat $x=90^{\circ},270^{\circ},\cdots$
- Nilai minimum adalah $-1$ saat $x=0^{\circ},180^{\circ},\cdots$
Pembuat fungsi nol atau $y=0$ saat $x=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},\cdots$

Silahkan disimak, soal tambahan untuk grafik fungsi trigonometri

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$. Jika jarak antara tonggak $A$ dan $B$ adalah $300\ m$, sudut $ABC=45^{\circ}$, dan sudut $BCA=60^{\circ}$, jarak antara tonggak $A$ dan $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 50\sqrt{6}\ m \\
(B)\ & 100\sqrt{3}\ m \\
(C)\ & 150\sqrt{2}\ m \\
(D)\ & 100\sqrt{6}\ m \\
(E)\ & 300\sqrt{6}\ m
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Sebagai ilustrasi jika kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, dapat digambarkan seperti berikut:

Dengan menggunkan Aturan Sinus dapat kita hitung, $AC$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{AC}{sin\ ABC} & = \dfrac{AB}{sin\ ACB} \\
\dfrac{AC}{sin\ 45^{\circ}} & = \dfrac{300}{sin\ 60^{\circ}} \\
AC & = \dfrac{300}{sin\ 60^{\circ}} \cdot sin\ 45^{\circ} \\
& = \dfrac{300}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \\
& = \dfrac{300\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3}}\\
& = 100 \sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 100 \sqrt{6}$

25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Perhatikan gambar berikut.

Sumber :
Tiga orang petugas dinas lingkungan hidup akan mengukur panjang Danau Tanralili di Kabupaten Goa. Orang pertama berada di titik $A$, orang kedua berada di titik $B$, dan orang ketiga berada di titik $C$. Ketiga petugas tersebut mengukur panjang Danau Tanralili dengan bantuan drone. Dari titik $A$ orang pertama menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $045^{\circ}$ ke titik $B$ dan tercatat drone terbang selama $15$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Kemudian dari titik $B$ orang kedua menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $105^{\circ}$ ke titik $C$ dan tercatat drone terbang selama $20$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Jika $p$ adalah jarak titik $A$ ke titik $C$ atau panjang Danau Tanralili dalam meter, nilai $p^{2}=\cdots$Alternatif Pembahasan: show

Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, seperti berikut ini:

$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $670$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
sin\left ( x+y \right )=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\left ( x-y \right )=-1+cos\ y\\
\end{matrix}\right.$
dengan $0 \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$. maka $cos\ 2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{25} \\
(B)\ & \dfrac{7}{24} \\
(C)\ & -\dfrac{7}{25} \\
(D)\ & -\dfrac{7}{24} \\
(E)\ & -\dfrac{17}{25}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$sin\left ( A+B \right )=sin\ A\ cos\ B + sin\ B\ cos\ A$
$sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
$cos\ 2A = 1 - 2\ sin^{2}A$

$\begin{align}
sin\left ( x+y \right ) &=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\left ( x-y \right ) &=-1+cos\ y\\
\hline
sin\ x\ cos\ y + sin\ y\ cos\ x &=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\ x\ cos\ y - sin\ y\ cos\ x &=-1+cos\ y\ [+] \\
\hline
2\ sin\ x\ cos\ y &= \dfrac{6}{5}\ cos\ y \\
2\ sin\ x &= \dfrac{6}{5} \\
sin\ x &= \dfrac{3}{5} \\
\hline
cos\ 2x &= 1 - 2\ sin^{2}x \\
&= 1 - 2\ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\
&= 1 - 2\ \cdot \dfrac{9}{25} \\
&= 1 - \dfrac{18}{25} \\
&= \dfrac{7}{25}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{7}{25}$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\
sin\ x=2\ sin\ y\\
\end{matrix}\right.$
Untuk $x \gt 0$ dan $y \gt \pi$. Nilai $3\ sin\ x-5\ sin\ y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{5} \\
(B)\ & -\dfrac{2}{5} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
$sin^{2} A+cos^{2} A=1$

$\begin{align}
cos\ 2x+cos\ 2y &= \dfrac{2}{5} \\
cos^{2} x-sin^{2} x+cos^{2} y-sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
1-sin^{2} x-sin^{2} x+1-sin^{2} y-sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
2-2sin^{2} x-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2\left( 2\ sin\ y \right)^{2}-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
-8\ sin^{2} y -2sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
-10\ sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
sin^{2} y &= \dfrac{4}{25} \\
sin\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{4}{25}} \\
sin\ y &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ y \gt \pi\ \text{maka}\ sin\ y &= -\dfrac{2}{5} \\
\hline
3\ sin\ x-5\ sin\ y &= 3 \cdot 2\ sin\ y - 5 \cdot -\dfrac{2}{5} \\
&= 3 \cdot 2\ \cdot -\dfrac{2}{5} + 2 \\
&= \dfrac{-12}{5}+2 \\
&= -\dfrac{2}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{5}$

28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\left ( a-b \right )=\dfrac{4}{5}sin\left ( a+b \right )\\
sin\ 2a+sin\ 2b=\dfrac{9}{10} \\
\end{matrix}\right.$
Nilai dari $sin\left ( a+b \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{7} \\
(B)\ & \dfrac{7}{10} \\
(C)\ & \dfrac{2}{5} \\
(D)\ & \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$sin\ A+ sin\ B=2\ sin\ \left (\dfrac{A+B}{2}\right )\ cos\ \left (\dfrac{A-B}{2}\right ) $
$cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$

$\begin{align}
sin\ 2a+sin\ 2b &= \dfrac{9}{10} \\
2\ sin\ \left (\dfrac{2a+2b}{2}\right )\ cos\ \left (\dfrac{2a-2b}{2}\right ) &= \dfrac{9}{10} \\
2\ sin\ \left( a+b \right)\ cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{10} \\
sin\ \left( a+b \right)\ cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{20} \\
sin\ \left( a+b \right)\ \cdot \dfrac{4}{5}sin\left ( a+b \right ) &= \dfrac{9}{20} \\
sin^{2} \left( a+b \right) &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{4}\\
sin \left( a+b \right) &= \pm \sqrt{ \dfrac{9}{16}} \\
&= \pm \dfrac{3}{4}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{4}$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =cos\ A - 2 sin\ B\\
y =sin\ A + 2 cos\ B
\end{matrix}\right.$
Nilai minimum dari $x^{2}+y^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 7
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$sin^{2} A+cos^{2} A=1$
$sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$

$\begin{align}
x &=cos\ A - 2 sin\ B \\
y &=sin\ A + 2 cos\ B \\
\hline
x^{2} &=cos^{2}\ A + 4 sin^{2} B-4\ cos\ A\ sin\ B \\
y^{2} &=sin^{2}\ A + 4 cos^{2} B+4\ sin\ A\ cos\ B \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 4 -4\ cos\ A\ sin\ B+4\ sin\ A\ cos\ B \\
&=5 +4 \left( sin\ A\ cos\ B - cos\ A\ sin\ B \right) \\
&=5 +4 sin\left ( A-B \right )
\end{align} $
Nilai minimum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $sin\left ( A-B \right )=-1$ minimum, sehingga nilai minimum $x^{2}+y^{2}=5 +4 \left ( -1 \right )=5-4=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =sin\ \alpha + \sqrt{3}\ sin\ \beta \\
y =cos\ \alpha + \sqrt{3}\ cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
Nilai maximum dari $x^{2}+y^{2}$ adalah $a+b\sqrt{3}$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$sin^{2} A+cos^{2} A=1$
$cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$

$\begin{align}
x &= sin\ \alpha + \sqrt{3}\ sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha + \sqrt{3}\ cos\ \beta \\
\hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha +3\ sin^{2} \beta+2\sqrt{3}\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha +3\ cos^{2} \beta+2\sqrt{3}\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 3 +2\sqrt{3}\ sin\ \alpha\ sin\ \beta+2\sqrt{3}\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=4 +2\sqrt{3} \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta+cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=4 +2\sqrt{3}\ cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $x^{2}+y^{2} =4 +2\sqrt{3}(1)$.

Nilai $a+b\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$, maka $a+b=4+2=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
a =sin\ x + cos\ y\\
b =cos\ x - sin\ y
\end{matrix}\right.$
Nilai miaximum dari $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 28 \\
(E)\ & 32
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$sin^{2} A+cos^{2} A=1$
$sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$

$\begin{align}
a &=sin\ x + cos\ y\\
b &=cos\ x - sin\ y \\
\hline
a^{2} &=sin^{2}\ x + cos^{2} y+2\ sin\ x\ cos\ y \\
b^{2} &=cos^{2}\ x + sin^{2} y-2\ cos\ x\ sin\ y \, \, [+]\\
\hline
a^{2}+b^{2} &=1 + 1+2\ sin\ x\ cos\ y -2\ cos\ x\ sin\ y \\
&=2+2\ \left( sin\ x\ cos\ y - cos\ x\ sin\ y \right) \\
&=2 +2\ sin\left ( x-y \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $a^{2}+b^{2}$ terjadi saat $sin\left ( x-y \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $a^{2}+b^{2}=2 +2 \left ( 1 \right )=4$

Nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ terjadi saat $a^{2}+b^{2}$ maximum, sehingga nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah:
$\begin{align}
4a^{2}+4b^{2}+4 &= 4 \left( a^{2}+ b^{2} \right)+4 \\
&= 4 \left( 4 \right)+4 \\
&= 20
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= -\dfrac{2}{5} \\
cos\ y=2\ cos\ x\\
\end{matrix}\right.$
maka $cos\ x+cos\ y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{6}{5} \\
(B)\ & -\dfrac{3}{5} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{3}{5} \\
(E)\ & \dfrac{6}{5}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
$cos \left ( 2A \right )=2cos^{2} A-1$

$\begin{align}
cos\ 2x+cos\ 2y &= -\dfrac{2}{5} \\
2cos^{2} x-1+2cos^{2} y-1 &= -\dfrac{2}{5} \\
2cos^{2} x +2cos^{2} y &= -\dfrac{2}{5}+2 \\
2cos^{2} x +2 \left(2 cos\ x \right)^{2} &= \dfrac{8}{5} \\
2cos^{2} x +8 cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
10 cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{1}{10} \\
cos\ x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
cos\ x &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}\ & \text{maka}\ cos\ x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
cos\ x + cos\ y &= \dfrac{2}{5} + 2 \cdot \dfrac{2}{5} \\
&= \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$

33. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =sin\ \alpha - sin\ \beta \\
y =cos\ \alpha + cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
maka nilai terbesar dari $x^{2}+y^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$sin^{2} A+cos^{2} A=1$
$cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$

$\begin{align}
x &= sin\ \alpha - sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha + cos\ \beta \\
\hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha + sin^{2} \beta-2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha + cos^{2} \beta-2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta+2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=2 +2\ \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta+ cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=2 +2\ cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi saat $cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ terbesar, sehingga nilai terbesar $x^{2}+y^{2} =2 +2(1)=4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

34. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diketahui $0 \lt x,y \lt \pi $, $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $, memenuhi:
$\left\{\begin{matrix}
2sin\ x+cos\ y =2\\
2cos\ x-sin\ y =\sqrt{3}\\
\end{matrix}\right.$
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

$sin^{2} A+cos^{2} A=1$
$sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$

$\begin{align}
2sin\ x+cos\ y &=2\\
2cos\ x-sin\ y &=\sqrt{3}\\
\hline
4sin^{2}\ x +cos^{2} y+4\ sin\ x\ cos\ y &=4\\
4cos^{2}\ x +sin^{2} y-4\ cos\ x\ sin\ y &=3\, \, [+]\\
\hline
4+1+4\ sin\ x\ cos\ y\ - 4\ cos\ x\ sin\ y &= 7 \\
4\left( sin\ x\ cos\ y\ - cos\ x\ sin\ y \right) &= 7-5 \\
4\ sin\ \left( x-y \right) &= 2 \\
sin\ \left( x-y \right) &= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align} $

$\begin{align}
sin^{2}A +cos^{2}A&=1\\
sin^{2}\left( x-y \right) +cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} +cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
cos^{2}\left( x-y \right)&=1- \dfrac{1}{4} \\
cos \left( x-y \right) &=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
&=\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align} $
Karena $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $ maka $cos \left( x-y \right) = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasMatematika Dasar Trigonometri

lembar jawaban penilaian harian matematika,

lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,

presentasi hasil diskusi matematika atau

pembahasan quiz matematika di kelas.

TrigonometriCMIIWJADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE

var labelArray = ["Bank Soal", "Matematika SMA"]; var relatedPostConfig = { homePage: "https://bimbersekolah.blogspot.com/", widgetTitle: "<div class='label-line-c'><h4>Artikel Terkait</h4></div>", numPosts: 8, titleLength: "auto", thumbnailWidth: 250, thumbnailHeight: 170, noImage: "//3.bp.blogspot.com/-ltyYh4ysBHI/U04MKlHc6pI/AAAAAAAADQo/PFxXaGZu9PQ/w255-h170-c/no-image.png", containerId: "related-post-4784588965907017327", newTabLink: false, moreText: "Read More", widgetStyle: 3, callBack: function() {} };

Belum ada Komentar untuk "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri"

Posting Komentar

Beranda