Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri

Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri. Untuk melengkapi matematika dasar barisan dan deret geometri, kita juga baiknya akan mempelajari matematika dasar barisan dan deret aritmetika dan matematika dasar barisan dan deret geometri tak hingga, dengan memahami ketiga topik ini maka masalah barisan dan deret akan semakin mudah kita pelajari.

Penerapan barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya dapat dilihat pada soal-soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada barisan dan deret geometri sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal barisan dan deret geometri dan menemukan solusinya.

Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal cerita atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan Bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu.

Secara simbol sederhana barisan dapat kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$

$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.
Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.

Secara simbol sederhana deret bilangan dapat kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$

$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$

Barisan dan Deret Geometri

Setelah dapat memahami tentang barisan dan deret bilangan, sekarang coba kita diskusikan tentang Barisan dan Deret Bilangan Geometri yang sering disebut hanya Barisan Geometri. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Geometri ($BG$) jika perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,
$2, 4, 8, 16, 32,...$ (Barisan Geometri dengan $r=2$)
$27, 9, 3, 1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}...$ (Barisan Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)

Pada Barisan Geometri jika suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan rasio dengan $r$ maka suku-suku Barisan Geometri secara umum dapat kita tuliskan menjadi;
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\cdots, ar^{n-1}$

Sedangkan jika Barisan Geometri kita tuliskan menjadi Deret Geometri, penulisan menjadi;
$a+\ ar+\ ar^{2}+\ ar^{3}+\cdots+ ar^{n-1}$

Dari bentuk umum diatas kita peroleh,

• rasio=$r$
  $r=\dfrac{U_{2}}{U_{1}}=\dfrac{U_{3}}{U_{2}}=\dfrac{U_{7}}{U_{6}}$
  $r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}$
• Suku ke-n
  $U_{n}=ar^{n-1}$
• Jumlah n suku pertama
  $S_{n}=\dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1}$
  $S_{n}=\dfrac{a \left (1-r^{n} \right )}{1-r}$
• Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
  $U_{t}=\sqrt{U_{1} \cdot U_{n}}$
  $S_{n}=n \cdot U_{t}$

Barisan dan Deret Geometri untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Ukur. untuk memahami Barisan dan Deret Geomtri ini coba kita diskusikan beberapa contoh soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.

1. Soal Ujian Nasional 2007 (*Soal Lengkap)

Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyak bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 640\ Bakteri \\
(B)\ & 3.200\ Bakteri \\
(C)\ & 6.400\ Bakteri \\
(D)\ & 12.800\ Bakteri \\
(E)\ & 32.000\ Bakteri \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba dengan memisalkan banyak bakteri awal atau mula-mula = $a$,
sehingga pada 5 menit berikut banyak bakteri adalah $2a$,
5 menit berikutnya banyak bakteri adalah $4a$ dan
5 menit berikutnya banyak bakteri adalah $8a$.

Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa 15 menit pertama dari pola barisan sudah menghasilkan barisan sampai kepada suku ke-4.
Sehingga banyak bakteri pada 15 menit pertama adalah suku ke-4 yaitu 400.
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{4}=a2^{3}$
$400=8a$
$a=50$
kita peroleh banyak bakteri mula-mula adalah 50 bakteri.

Dengan mengikuti pola diatas juga banyak bakteri pada 50 menit pertama sama dengan suku ke-7, yaitu:
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{7}=50 \cdot 2^{6}$
$U_{7}=50 \cdot 64$
$U_{7}=32.000$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 32.000\ Bakteri$

2. Soal SM-UNPAD 2007

Sepotong kawat yang panjangnya 124 cm dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang setiap potongnya membentuk Barisan Geometri. Jika potongan kawat yang paling pendek adalah 4 cm, potongan kawat yang paling panjang adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ cm\\
(B)\ & 64\ cm\\
(C)\ & 68\ cm\\
(D)\ & 72\ cm\\
(E)\ & 76\ cm
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Keterangan yang dapat kita ambil dari soal adalah panjang seluruh tali yang dibagi menjadi 5 bagian adalah 124.
Karena tali dibagi menjadi 5 bagian dengan mengikuti pola Barisan Geometri, maka jika kita urutkan dari panjang tali yang terkecil menjadi,
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4}$
barisan di atas panjang tali terpendek kita misalkan $a$ panjangnya adalah 4 dan jumlah barisan adalah 124, sehingga dapat kita tuliskan menjadi,
$a+ ar+ ar^{2}+ ar^{3}+ ar^{4}=124$
$S_{5}=124$
$\dfrac{a \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\dfrac{4 \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\dfrac{\left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=31$
$\dfrac{\left (r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1 \right )\left (r-1 \right )}{r-1}=31$
$r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1=31$
$\left (r^{3}+3r^{2}+7r+15 \right )\left ( r-2 \right )=0$
salah satu nilai $r$ yang memenuhi adalah $r=2$

Potongan kawat yang paling panjang,
$U_{5}=ar^{5-1}$
$U_{5}=4 \cdot 2^{4}$
$U_{5}=4 \cdot 16$
$U_{5}=64$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 64\ cm$

3. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

Suku ke-4 suatu Barisan Geometri sama dengan suku ke-8 suatu Barisan Aritmatika. Kedua barisan tersebut mempunyai suku pertama sama dengan 2. Jika rasio Barisan Geometri sama dengan beda BA dan keduanya merupakan bilangan bulat, suku ke-5 Barisan Geometri dikurangi suku ke-11 BA sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 16 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$U_{4} [Barisan Geometri]=U_{8} [BA]$
$ar^{3}=a+7b$
untuk nilai $a=2$ dan $r=b$ maka kita peroleh,
$2r^{3}=2+7r$
$2r^{3}-7r-2=0$
$(r-2)(2r^{2}+4r+1)=0$
$(r-2)(2r-1)^{2}=0$
$r=2$ atau $r=\frac{1}{2}$

Nilai $r$ yang bulat adalah yang memenuhi, $r=2$.

Nilai suku ke-5 Barisan Geometri dikurangi suku ke-11 BA adalah,
$\begin{align}
U_{5} [Barisan Geometri]-U_{11} [BA] &= ar^{4}-(a+10b) \\
&= (2)(2)^{4}-(2+10(2)) \\
&= 32-22 \\
&= 10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10$

4. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 30 \\
(E)\ & 36 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan aritmatika harus kita ketahui;

Misalkan $BA$ dengan $b=2$ adalah $(a),\ (a+2),\ (a+4),\ (a+6)$.

Barisan Geometri yang terbentuk:
$(a),\ (a+2),\ (a+4)+(a),\ 2(a+6)$.
$(a),\ (a+2),\ (2a+4),\ (2a+12)$.
dengan menggunakan ciri khas dari Barisan Geometri, kita peroleh
$\begin{align}
u_{2}^{2} & =u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+2)^{2} & = a \cdot (2a+4) \\
a^{2}+4a+4 & = 2a^{2}+4a \\
a^{2}-4 & =0 \\
(a-2)(a+2) & =0 \\
a=2\ & \text{atau}\ a=-2
\end{align}$

Untuk $a=-2$ barisan adalah: $-2,\ 0,\ 0,\ 8$ bukan Barisan Geometri.
Untuk $a=2$ barisan adalah: $2,\ 4,\ 8,\ 16$ merupakan Barisan Geometri sehingga jumlahnya adalah $30$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 30$

5. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ dan suatu barisan aritmatika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{15} \\
(B)\ & \dfrac{2}{15} \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{8}{15}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan aritmatika harus kita ketahui;

Misalkan: Barisan Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$ adalah $a,\ \dfrac{1}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a,\ \dfrac{1}{8}a$.
$\begin{align}
a+ \dfrac{1}{2}a+ \dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8}{8}a+ \dfrac{4}{8}a+ \dfrac{2}{8}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8+4+2+1}{8}a & = 1 \\
15a & = 8 \\
a & = \dfrac{8}{15}
\end{align}$

Misalkan $BA$ dengan $b=b$ adalah $u_{1}-b,\ u_{1},\ u_{1}+b$.
$\begin{align}
u_{1}-b+ u_{1}+ u_{1}+b & = 1 \\
3u_{1} & = 1 \\
u_{1} & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

Karena $u_{1}$ Barisan Geometri sama dengan $u_{3}$ $BA$, maka
$\begin{align}
u_{1}+b & = a \\
\dfrac{1}{3}+b & = \dfrac{8}{15} \\
b & = \dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{8}{15}-\dfrac{5}{15} \\
& = \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{5}$

6. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 (*Soal Lengkap)

Jika $-2,\ a+3,\ a-1$ membentuk barisan geometri, maka jumlah $11$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari Barisan Geometri $-2,\ a+3,\ a-1$ kita peroleh;

$\begin{align}
u_{2}^{2} & = u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+3)^{2} & = -2 \cdot (a-1) \\
a^{2}+6a+9 & = -2a+2 \\
a^{2}+8a+7 & = 0 \\
(a+1)(a+7) & = 0 \\
(a+1)=0\ & \text{atau}\ (a+7)=0 \\
a=-1\ & \text{atau}\ a=-7
\end{align}$

Untuk $a=-1$ maka Barisan Geometri: $-2,\ 2,\ -2,\ \cdots$
Jumlah $11$ suku pertama adalah
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\
S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((-1)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{-2 \left (-1-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{4}{-2} \\
& = -2
\end{align}$

Untuk $a=-7$ maka Barisan Geometri: $-2,\ -4,\ -8,\ \cdots$
Jumlah $11$ suku pertama adalah
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\
S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((2)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{-2 \left (2^{11}-1 \right )}{-2} \\
& = 2^{11}-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

7. Soal SBMPTN 2018 Kode 417 (*Soal Lengkap)

Diberikan barisan geometri $u_{n}$, dengan $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$. Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 15
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari Barisan Geometri yang memenuhi $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$ kita peroleh;

$\begin{align}
u_{3}+u_{4} & = 4(u_{1}+u_{2}) \\
ar^{2}+ar^{3} & = 4(a+ar) \\
ar^{2}+ar^{3} & = 4a+4ar \\
r^{2}+r^{3} & = 4+4r \\
r^{3}+r^{2}-4r-4 & = 0 \\
(r+1)(r+2)(r-2) & = 0 \\
r=-1,\ r=-2,\ & \text{atau}\ r=2 \\
\end{align}$

$\begin{align}
u_{1}u_{4} & = 4u_{2} \\
a \cdot ar^{3} & = 4(ar) \\
a \cdot ar^{3} & = 4ar \\
ar^{2} & = 4
\end{align}$

Untuk $r=-1$ maka $a=4$ Barisan Geometri: $4,\ -4,\ 4,\ -4,\ \cdots$
Untuk $r=-2$ maka $a=1$ Barisan Geometri: $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ \cdots$
Untuk $r=2$ maka $a=1$ Barisan Geometri: $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots$

Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah: $0$, $-5$ atau $15$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 15$

8. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)

Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri adalah $\dfrac{1}{32}$. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah $15$, maka jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 30 \\
(B)\ & 40 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 60 \\
(E)\ & 70
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari Barisan Geometri yang disampaikan pada soal, dapat kita peroleh;

$\begin{align}
\dfrac{u_{6}}{u_{1}} & = \dfrac{1}{32} \\
\dfrac{ar^{5}}{a} & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\
r^{5} & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\
r & = \dfrac{1}{2} \\
u_{3}+u_{4} & = 15 \\
ar^{2}+ar^{3} & = 15 \\
\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{8}a & = 15 \\
\dfrac{3}{8}a & = 15 \\
a & = \dfrac{120}{3}=40
\end{align}$

Barisan geometri adalah $40,\ 20,\ 10,\ 5, \cdots$ dan jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah $70$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 70$

9. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Jika tiga bilangan $x,y,\ \text{dan}\ z$ membentuk barisan geometri, maka $\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{x} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{y} \\
(C)\ & \dfrac{1}{z} \\
(D)\ & \dfrac{1}{x+z} \\
(E)\ & \dfrac{1}{x-z}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Tiga bilangan $x,y,z$ membentuk barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
U_{2}^{2} &= U_{3} \cdot U_{1} \\
y^{2} &= z \cdot x \\
\hline
\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z} &= \dfrac{(y-z)-(x-y)}{(x-y)(y-z)} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-xz-y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-y^{2}-y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-2y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{ y(x -2y + z)} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{-y(2y-x-z)} \\
&= \dfrac{1}{-y}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{y}$

10. Soal UMB-PT 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Suku ke-n suatu deret geometri adalah $u_{n}$. Jika $u_{1}+u_{2}=\dfrac{9}{2}$ dan ${}^3\!\log u_{1}+{}^3\!\log u_{2}+{}^3\!\log u_{3}=3$, maka $u_{n}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{4}2^{n-1} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}2^{n } \\
(C)\ & \dfrac{3}{4}2^{n+1} \\
(D)\ & \dfrac{3}{4}3^{n-1} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}3^{n}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Deret geometri $a, ar, ar^{2}, \cdots, ar^{n-1}$
$\begin{align}
u_{1}+u_{2} &= \dfrac{9}{2} \\
a+ar &= \dfrac{9}{2}
\end{align}$

$\begin{align}
{}^3\!\log u_{1}+{}^3\!\log u_{2}+{}^3\!\log u_{3} &= 3 \\
{}^3\!\log \left( u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3} \right) &= {}^3\!\log 3^{3} \\
{}^3\!\log \left( a \cdot ar \cdot ar^{2} \right) &= {}^3\!\log 3^{3} \\
{}^3\!\log \left( ar \right)^{3} &= {}^3\!\log 3^{3} \\
ar &= 3 \\
\hline
a+ar &= \dfrac{9}{2} \\
a+3 &= \dfrac{9}{2} \\
a &= \dfrac{9}{2} -3 \\
a &= \dfrac{3}{2} \\
r &= 2
\end{align}$

$\begin{align}
u_{n} &= ar^{n-1} \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n-1} \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n } \cdot 2^{-1} \\
&= \dfrac{3}{4} \cdot 2^{n }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}2^{n }$

11. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Diketahui $p,\ x,\ y$ merupakan bilangan real dengan $x \gt 0$. Jika $p,\ x,\ y,\ \dfrac{1}{5}x^{2}$ membentuk barisan geometri, maka $p^{6}x^{-3}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 125 \\
(B)\ & 50 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Ciri khas barisan geometri yang kita pakai untuk menyelesaikan soal di atas adalah $U_{2}^{2}=U_{1} \cdot U_{3}$ atau $U_{3}^{2}=U_{2} \cdot U_{4}$. Sehingga untuk barisan $p,\ x,\ y,\ \dfrac{1}{5}x^{2}$, berlaku:
$\begin{align}
U_{2}^{2} &= U_{1} \cdot U_{3} \\
x^{2} &= py \\
y &= \dfrac{x^{2}}{p} \\
\hline
U_{3}^{2} &= U_{2} \cdot U_{4} \\
y^{2} &= \dfrac{1}{5}x^{2} \cdot x \\
\left( \dfrac{x^{2}}{p} \right) ^{2} &= \dfrac{1}{5}x^{3} \\
\dfrac{x^{4}}{p^{2}} &= \dfrac{1}{5}x^{3} \\
\dfrac{x^{4}}{\dfrac{1}{5}x^{3}} &= p^{2} \\
5x &= p^{2} \\
p^{2} x^{-1} &= 5 \\
\left( p^{2} x^{-1} \right)^3 &= 5^{3} \\
p^{6} x^{-3} &= 125
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 125$

12. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Diketahui $u_{1}+u_{2}+\cdots$ adalah deret geometri dengan $u_{1}=x^{-2}$, $u_{5}=x^{2}$ dan $u_{6}=8$, maka nilai $u_{7}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 16 \\
(D)\ & 27 \\
(E)\ & 32
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari deret geometri $a+ar+ar^{2}+ \cdots+ ar^{n-1}$, dimana $u_{1}=x^{-2}$, $u_{5}=ar^{4}=x^{2}$ dan $u_{6}=ar^{5}=8$ berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
a = x^{-2} & ar^{5} = 8 \\
ar^{4} = x^{2} & x^{-2} \cdot x^{5} = 8 \\
x^{-2} \cdot r^{4} = x^{2} & x^{3} = 8 \\
r^{4} = x^{2} \cdot x^{2} & x = 2 =r \\
r^{4} = x^{4} & U_{7} = U_{6} \cdot r \\
r = x & U_{7} = 8 \cdot 2 =16 \\
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 16$

13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Diketahui bilangan $a,\ b,\ c$ membentuk barisan geometri. Bilangan $a,\ b,\ c-2$ membentuk barisan aritmetika dan bilangan $a,\ b+2,\ c+10$ membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{14}{9} \\
(B)\ & \dfrac{20}{9} \\
(C)\ & \dfrac{32}{9} \\
(D)\ & \dfrac{40}{9} \\
(E)\ & \dfrac{80}{9}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan aritmetika harus kita ketahui;

• Dari barisan geometri $a,\ b,\ c$ kita peroleh $b^{2}=ac\ \cdots \text{pers.(1)}$
• Dari barisan aritmetika $a,\ b,\ c-2$ kita peroleh $2b=a+c-2\ \cdots \text{pers.(2)}$
• Dari barisan geometri $a,\ b+2,\ c+10$ kita peroleh $(b+2)^{2}=a(c+10)\ \cdots \text{pers.(3)}$

Jika kita subsitusi $\text{pers.}(1)$ dan $(2)$ ke $\text{pers.}(3)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
(b+2)^{2} & = a(c+10) \\
b^{2}+4b+4 & = a c+10a \\
ac+2(a+c-2)+4 & = a c+10a \\
2 a+2c-4+4 & = 10a \\
a+ c & = 5a \\
c & = 4a\ \cdots\ \text{pers.(4)} \\
2b & = a+ c-2 \\
2b & = a+ 4a-2 \\
2b+2 & = 5a \\
a & = \dfrac{2b+2}{5}\ \cdots \text{pers.(5)}
\end{align}$

$\text{pers.}(4)$ dan $(5)$ kita substitusikan ke $\text{pers.}(1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
b^{2} & = ac \\
b^{2} & = a \left( 4a \right) \\
b^{2} & = 4a^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{2b+2}{5} \right)^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{4b^{2}+8b+4}{25} \right) \\
25b^{2} & = 16b^{2}+32b+16 \\
9b^{2}-32b-16 & = 0
\end{align}$
Jumlah semua nilai $b$ yang mungkin adalah $b_{1}+b_{2}=-\dfrac{-32}{9}=\dfrac{32}{9}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{32}{9}$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $n$ adalah bilangan asli. Misalkan $S(n)$ menyatakan jumlah setiap digit dari $n$ (secagai contoh: $n=1234$. $S(1234)=1+2+3+4=10$), maka nilai $S\left( S(n) \right)$ yang memenuhi persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$ adalah...
$\begin{align}
(1)\ & 2 \\
(2)\ & 5 \\
(3)\ & 8 \\
(4)\ & 20
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini rencana mau tidak diketik, karena tidak termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Tetapi karena termasuk kategori soal HOTS kita tampilkan pada barisan aritmetika dan barisan geometri;

Dari persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$;

• $n \gt S(n) \gt S\left( S(n) \right)$, berdasarkan ketidaksamaan ini agar mendapatkan hasil penjumlahan $2013$ maka $n$ adalah bilangan $4$ angka dan kurang dari $2013$
• Jika $1000 \geq n \leq 1999$, maka $S(n)_{max}=S(1999)=1+9+9+9=28$ dan $S \left( S(n) \right)_{max}=S(28)=2+8=10$

$\begin{align}
n+S(n)+S\left( S(n) \right) & \leq n + 28 +10 \\
2013 & \leq n + 38 \\
2013-38 & \leq n \\
1975 & \leq n \\
1975 & \leq n \lt 2013
\end{align}$
Dari batasan nilai $n$ di atas kita coba lakukan uji nilai $n$;

UJI NILAI
$n$	$S(n)$	$S \left( S(n) \right)$	$n+S(n)+S\left( S(n) \right)$
$1975$	$1+9+7+5=22$	$2+2=4$	$1975+22+4=2001$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1979$	$1+9+7+9=26$	$2+6=8$	$1979+26+8=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1985$	$1+9+8+5=23$	$2+3=5$	$1985+23+5=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1991$	$1+9+9+1=20$	$2+0=2$	$1991+20+2=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$2003$	$2+0+0+3=5$	$5=5$	$2003+5+5=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

Nilai $S\left( S(n) \right)$ yang mungkin adalah $2, 5,\ 8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)\ (2)\ (3)$

15. Soal SBMPTN 2013 Kode 127 (*Soal Lengkap)

Diketahui $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ berturut-turut adalah suku ke-2, ke-3 dan ke-4 suatu barisan geometri dengan $b \gt 0$, Jika $\dfrac{ac}{2b+3}=1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Barisan $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ adalah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
b^{2} &= ac \\
\dfrac{ac}{2b+3} &= 1 \\
ac &= 2b+3 \\
\hline
b^{2} &= 2b+3 \\
b^{2}-2b-3 &= 0 \\
(b-3)(b+1) &= 0 \\
b=3\ \ b=-1 &
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

16. Soal SBMPTN 2013 Kode 124 (*Soal Lengkap)

Diketahui $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ berturut-turut adalah suku ke-2, ke-3 dan ke-4 suatu barisan geometri dengan $b \gt 0$, Jika $\dfrac{ac}{b+2}=1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Barisan $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ adalah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
b^{2} &= ac \\
\dfrac{ac}{b+2} &= 1 \\
ac &= b+2 \\
\hline
b^{2} &= b+2 \\
b^{2}- b-2 &= 0 \\
(b-2)(b+1) &= 0 \\
b=2\ \ b=-1 &
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

17. Soal SBMPTN 2013 Kode 121 (*Soal Lengkap)

Hasil kali $5$ suku pertama suatu berisan geometri adalah $32$. Jika jumlah suku ketiga dan suku keempat barisan tersebut adalah $6$, maka suku keenam barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{8} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 16
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Hasil kali $5$ suku pertama suatu berisan geometri adalah $32$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
a \cdot ar \cdot ar^{2} \cdot ar^{3} \cdot ar^{4} &= 32 \\
a^{5}r^{10} &= 32 \\
\left( a r^{2} \right)^{5} &= 2^{5} \\
a r^{2} &= 2 \\
\hline
U_{3}+U_{4} &= 6 \\
ar^{2}+ar^{3} &= 6 \\
ar^{2}(1+r) &= 6 \\
2(1+r) &= 6 \\
r &= 2 \\
\hline
a r^{2} &= 2 \\
a (4) &= 2 \\
a &= \dfrac{1}{2} \\
U_{6} &= a r^{5} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (2)^{5} \\
&= (2)^{4}=16
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 16$

18. Soal SNMPTN 2012 Kode 223 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ adalah suku pertama, $r$ adalah rasio, dan $S_{n}=3 \left( 2^{n+1}-2 \right)$ adalah jumlah $n$ suku pertama deret geometri, maka nilai $a+r$ adalah..
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$S_{n}=3 \left( 2^{n+1}-2 \right)$ adalah jumlah $n$ suku pertama deret geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{1} &= 3 \left( 2^{(1)+1}-2 \right) \\
U_{1} &= 6 \\
\hline
S_{2} &= 3 \left( 2^{(2)+1}-2 \right) \\
U_{1}+U_{2} &= 18 \\
U_{2} &= 12 \\
\hline
S_{3} &= 3 \left( 2^{(3)+1}-2 \right) \\
U_{1}+U_{2}+U_{3} &= 42 \\
U_{3} &= 24 \\
\hline
r &= \dfrac{12}{6}=2 \\
a+r &= 6+2 \\
&= 8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 8$

19. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 (*Soal Lengkap)

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$. Jika bilangan yang terbesar ditambah $12$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 27 \\
(C)\ & 28 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 30
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$, Misal bilangan itu adalah $a,\ a+6,\ a+12$ dan jika $a+12+12$ barisan $a,\ a+6,\ a+12+12$ adalah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a+6)^{2} &= a(a+12+12) \\
a^{2}+12a+36 &= a^{2}+24a \\
12a+36-24a &= 0 \\
-12a &= -36 \\
a &= 3
\end{align}$
Jumlah bilangan adalah
$\begin{align}
a+a+6+a+12 &= 3a+18 \\
&= 3(2)+18 \\ &= 27
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 27$

20. Soal SNMPTN 2011 Kode 171 (*Soal Lengkap)

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $16$. Jika bilangan yang terkecil ditambah $7$ dan bilangan yang terbesar ditambah $2$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 56 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 52 \\
(D)\ & 50 \\
(E)\ & 48
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $16$, Misal bilangan itu adalah $a,\ a+16,\ a+32$ dan barisan berubah menjadi $a+7,\ a+16,\ a+32+2$ adalah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a+16)^{2} &= (a+7)(a+34) \\
a^{2}+32a+256 &= a^{2}+41a+238 \\
32a-41a+256-238 &= 0 \\
-9a+18 &= 0 \\
-9a &= -18 \\
a &= 2
\end{align}$
Jumlah bilangan adalah:
$\begin{align}
a+a+16+a+32 &= 3a+48 \\
&= 3(2)+48 \\
&= 54
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 54$

21. Soal SNMPTN 2011 Kode 854 (*Soal Lengkap)

Jika $a,\ b,\ c,\ d,\ e$ membentuk barisan geometri dan $a \times b \times c \times d \times e=128$, maka di antara kelima suku barisan itu yang dapat ditentukan nilainya adalah suku ke...
$\begin{align}
(A)\ & pertama \\
(B)\ & kedua \\
(C)\ & ketiga \\
(D)\ & keempat \\
(E)\ & kelima
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Lima bilangan membentuk barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
a \times b \times c \times d \times e &= 128 \\
a \times ar \times ar^{2} \times ar^{3} \times ar^{4} &= 128 \\
a^{5}r^{10} &= 128 \\
\left( a r^{2} \right)^{5} &= 128 \\
a r^{2} &= \sqrt[5]{128} \\
U_{3} &= \sqrt[5]{128}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ketiga$

22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Seorang peneliti melakukan pengamatan terhadap bakteri tertentu. Setiap $\dfrac{1}{2}$ hari bakteri membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat $2$ bakteri. Jika setiap $2$ hari $\dfrac{1}{4}$ dari jumlah bakteri mati, banyak bakteri setelah tiga hari adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 48\ \text{bakteri} \\
(B)\ & 64\ \text{bakteri} \\
(C)\ & 96\ \text{bakteri} \\
(D)\ & 128\ \text{bakteri} \\
(E)\ & 192\ \text{bakteri}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertumbuhan bakteri yang diamati pada soal di atas menggunakan konsep deret geometri dengan $r=2$. Untuk menyelesaikan soal di atas dapat digunakan rumus suku ke-n barisan geometri yaitu $U_{n}=ar^{n-1}$.

Tetapi karena yang diminta banyak bakteri dalam waktu tiga hari, kita kerjakan secara manual;

• Hari Pertama: $2 \rightarrow 4 \rightarrow 8$
• Hari Kedua: $8 \rightarrow 16 \rightarrow 32$
  Bakteri mati $\dfrac{1}{4}$, sehingga tinggal $32-8=24$
• Hari Ketiga: $24 \rightarrow 48 \rightarrow 96$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 96$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan masalah Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk saran yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian Soal Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan😊CMIIW.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Jadi Kreatif;

Sumber https://www.defantri.com/

Bagikan Artikel ini