Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 (*Matematika SAINTEK Kode 106)

Pada ujian Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri [SBMPTN] tahun 2017 siswa dibagi menjadi beberapa kelompok ujian. Diantaranya Kelompok Ujian SAINTEK, Kelompok Ujian SOSHUM, dan Kelompok ujian campuran. Jika pada era saya kelompok ujian ini dikenal dengan Kelompok IPA [SAINTEK], kelompok IPS [SOSHUM] dan kelompok IPC [campuran]

Pada kelompok ujian SAINTEK [Sains dan Teknologi] akan mendapat materi ujian TKPA [Tes Kemampuan dan TKD SAINTEK. Untuk kelompok ujian SOSHUM [Sosial dan Humaniora] akan mendapat materi ujian TKPA dan TKD SOSHUM. Sedangkan untuk kelompok campuran akan mendapat materi ujian TKPA, TKD SAINTEK dan TKD SOSHUM.

TKPA yang singkatan dari Tes Kemampuan dan Potensi Akademik dan yang diujikan pada TKPA terdiri atas Tes Kemampuan Verbal, Numerikal, Vigural, Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris.

Untuk TKD SAINTEK yang diujikan adalah mata pelajaran Matematika, Biologi, Fisika, dan Kimia. Sedangkan untuk TKD SOSHUM yang diujikan adalah mata pelajaran Sosiologi, Sejarah, Geografi dan Ekonomi.

Diskusi kali ini kita pilih dari soal SBMPTN 2017 TKD SAINTEK kode naskah 106 mata pelajaran matematika, untuk mendapatkan soalnya secara lengkap untuk semua mata pelajaran yang diujikan silahkan download disini. Kemarin-kemarin ini disebut dengan istilah Matematika IPA, dimana jika kita bisa benar 4 atau 5 saja dari 15 soal sudah masuk kategori baik. Mari kita coba diskusikan

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.1

Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\ldots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $y=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\
9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
$\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\
& \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split}$
Sama seperti sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Jadi $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 1$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.2

Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam $5$ tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
$(A)\ 2(\sqrt[10]{2}-1)$
$(B)\ 2(\sqrt[5]{2}-1)$
$(C)\ 2(\sqrt{2})$
$(D)\ 2(\sqrt[5]{2})$
$(E)\ 2(\sqrt[10]{2})$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menghitung suku bunga pada soal diatas kita pakai dengan perhitungan bunga majemuk. Pada akhir $n$ tahun, dengan suku bunga $R$ dan modal semula $P$ akan terkumpul menjadi sejumlah $S_{n}=P(1 + R)^{n}$.

Jika kita hubungkan pada soal, misalkan tabungan awalnya $= P$, suku bunga yang didapat sebesar $= R$, maka setelah $5$ tahun atau $10$ semester tabungannya dapat kita hitung sebagai berikut;
$\begin{split}S_{n} &=P(1 + R)^{n}\\
S_{10} &=P(1 + R)^{10}\\
2P &=P(1 + R)^{10}\\
2 &=(1 + R)^{10}\\
\sqrt[10]{2} &=(1 + R)\\
\sqrt[10]{2}-1 &=R\\
\end{split}$
Suku bunga yang kita peroleh diatas adalah suku bunga per semester, jadi suku bunga per tahun adalah $2R = 2(\sqrt[10]{2}-1)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 2(\sqrt[10]{2}-1)$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.3

Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan sedikit manipulasi aljabar, pertidaksamaan di atas kita rubah menjadi seperti berikut ini;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0\\
\end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang adalah $2x^{2}=0$ maka $x=0$
• Pembuat nol penyebut adalah $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$

Batasan atau pembuat nol kita gambarkan dalam satu garis bilangan sehingga kita peroleh empat daerah yaitu:
$x\leq -1$ | $-1\leq x \leq 0$ | $0\leq x\leq 1$ | $x\geq 1$.

Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, lalu menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari daerah $x\geq 1$ yang kita uji $x=3$ pada pertidaksamaan
$\begin{align}
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &= \dfrac{2(3)^{2}}{(3)^{2}(3+1)(3-1)}\\
&= \dfrac{18}{9(4)(2)}= \dfrac{1}{4} \\
& \therefore \text{artinya} \geq 0
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh daerah $x\geq 1$ bukan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini pertidaksamaan lebih dari atau sama dengan nol ($\geq 0$).

Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh daerah yang hasilnya kurang dari atau sama dengan nol ($\leq 0$) yaitu pada daerah $-1\leq x\leq0$, dan $0\leq x\leq 1$.
(*cara pilar perhatikan gambar, setiap melewati batas faktor pangkat ganjil tanda berubah dan setiap melewati batas faktor pangkat genap tanda tetap)

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ atau\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.4

Diketahui vektor $a,\ u,\ v,\ w$ adalah vektor di bidang kartesius dengan $v=w-u$ dan sudut antara $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$. Jika $a=4v$ dan $a \cdot u=0$ maka...
$(A) \left \| u \right \|=2\left \| v \right \|$
$(B) \left \| v \right \|=2\left \| w \right \|$
$(C) \left \| v \right \|=2\left \| u \right \|$
$(D) \left \| w \right \|=2\left \| v \right \|$
$(E) \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{split}
\Rightarrow & a = 4v\\
& a = 4(w-u)\\
& a = 4w-4u\\
\\
\Rightarrow a \cdot u & = 0\\
(4w-4u)u & = 0\\
4w \cdot u - 4u^{2}& = 0 \\
4w \cdot u & = 4u^{2} \\
w \cdot u & = u^{2} \\
\end{split}$
Sudut antara vektor $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$ sehingga berlaku:
$\begin{split}
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| cos 60^{\circ} \\
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
u^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
2 \left \| u \right \|&= \left \| w \right \|
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.5

Diketahui persamaan $sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) =1$. Jika $\theta_{1}$ dan $\theta_{2}$ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2}= \cdots$
$(A)\ -1$
$(B)\ -0.5$
$(C)\ 0$
$(D)\ 0.5$
$(E)\ 1$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{split}
sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\
\dfrac{1}{cos\ \theta} \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\
\left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\
\left (\dfrac{1}{cos\ \theta} \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\
sin\ \theta \left (\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ \right )&=cos\ \theta\\
\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{cos\ \theta}{sin\ \theta}\\
tan\ \theta+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{1}{tan\ \theta}\\
(tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta &=1\\
(tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta -1 &=0\\
\therefore tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2} =-1
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ -1$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.6

Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola $4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3=0$ adalah...
$(A)\ x+2y+5=0$
$(B)\ x-2y+1=0$
$(C)\ x-2y+7=0$
$(D)\ x+2y+1=0$
$(E)\ x+2y-5=0$

Alternatif Pembahasan: show

Asimtot dari hiperbola ini jadi salah satu materi yang sangat fresh di SBMPTN atau mungkin soal yang tidak diduga bakal dimunculkan oleh panitia pembuat soal SBMPTN.

Persamaan hiperbola secara umum ada 2 yaitu;

1. Hiperbola Vertikal [Tegak]
   
   • persamaan umumnya adalah $\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
   • Pusat $(h,k)$
   • Persamaan asimtotnya adalah $\dfrac{(y-k)}{a}=\pm \dfrac{(x-h)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{a}{b}(x-h)$
2. Hiperbola Horizontal [Mendatar]
   
   • persamaan umumnya adalah $\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
   • Pusat $(h,k)$
   • Persamaan asimtotnya adalah $\dfrac{(x-h)}{a}=\pm \dfrac{(y-k)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{b}{a}(x-h)$

Seperti yang disampaikan dalang Sujiwo Tejo, salah satu keindahan matematik itu adalah saat mengutak-atik sampai ketemu persamaan baru. Persamaan hiperbola pada soal kita utak-atik dengan menggunakan aturan yang berlaku sampai ketemu bentuk umum dari hiperbola.
$\begin{split}
4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3 & =0\\
4y^{2}+16y-x^{2}+6x+3 & =0\\
(2y+4)^{2}-16-(x-3)^{2}+9+3 &=0\\
(2y+4)^{2}-(x-3)^{2}&=4\\
\dfrac{(2y+4)^2}{4}-\dfrac{(x-3)^2}{4}&=1\\
\dfrac{2^{2}(y+2)^2}{2^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\
\dfrac{(y+2)^2}{1^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\
\end{split}$
Persamaan asimtot hiperbola di atas adalah
$\begin{split}
\dfrac{(y+2)}{1^{2}}&=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\
y+2 &=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\
2y+4 &=\pm (x-3)\\
\Rightarrow & 2y-x+7=0\\
\Rightarrow & 2y+x+1=0\ \D \\
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 0$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.7

Misalkan $f(x)=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$ maka $g(-2)= \cdots$
$(A)\ 12$
$(B)\ 10$
$(C)\ 8$
$(D)\ 6$
$(E)\ 4$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{split}
f(x)&=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18\\
f(x)&=(x-2)g(x)+2b\\
3(2)^{3}-9(2)^{2}+4b(2)+18 &=(2-2)g(2)+2b\\
24-36+8b+18 &=2b\\
-12+8b+18 &=2b\\
6b &=-6\\
b &=-1\\

f(x)&=3x^{3}-9x^{2}-4x+18\\
f(x)&=(x-2)g(x)-2\\
3(-2)^{3}-9(-2)^{2}-4(-2)+18 &= (-2-2)g(-2)-2\\
-24-36+8+18 &= (-4)g(-2)-2\\
-60+26+2 &= (-4)g(-2)\\
-32 &= (-4)g(-2)\\
8 &= g(-2)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 8$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.8

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$

Alternatif Pembahasan: show

Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;

Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;

Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.

Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\

\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\

\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 18\pi-18$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.9

Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 3$
$(E)\ 4$

Alternatif Pembahasan: show

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int_{-a}^a f(x)dx =2\int_{0}^a f(x)dx $
Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$

Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil

• Berlaku $f(-x)=-f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
• Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini adalah $\int_{-a}^a f(x)dx =0$.
Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split}
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$.
\begin{split}
\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
2 \int_{0}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\

\Rightarrow \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx = 0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 0$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.10

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}=\cdots$
$(A)\ -\dfrac{1}{8}$
$(B)\ -\dfrac{1}{4}$
$(C)\ 0$
$(D)\ \dfrac{1}{4}$
$(E)\ \dfrac{1}{8}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{split}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos\ x}+\dfrac{cos^{2}x}{cos\ x}-\dfrac{2\ cos\ x}{cos\ x}}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}-2\ cos\ x+1}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (cos\ x-1 \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (-2sin^{2}(\dfrac{1}{2}x) \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} 4\ \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}} \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{sin^{2}x} \cdot \dfrac{1}{cos\ x}\\
= & 4\ \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1}\\
= & \dfrac{1}{4}
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \dfrac{1}{4}$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.11

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \text{Tidak ada limitnya} \\
(B).\ & 0 \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & - \infty \\
(E).\ & \infty
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar, yaitu dengan memisalkan $\dfrac{1}{x}=m$ maka $\dfrac{1}{m}=x$. Karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1}\\
& = \dfrac{1+0}{0+1}\\
& = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 1$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.12

Diberikan dua fungsi rasional $y=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak $4$ satuan, maka $a= \cdots$
$(A)\ 2$
$(B)\ 3$
$(C)\ 5$
$(D)\ 6$
$(E)\ 7$

Alternatif Pembahasan: show

Fungsi Rasional $y=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}$

• Asimtot Mendatar adalah garis $y=\dfrac{a}{p}$
• Asimtot Tegak adalah garis $x=x_{1}$ dan $x=x_{2}$ jika penyelesaian $px^{2}+qx+r=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$

Dari dua fungsi rasional pada soal $y_{1}=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Asimtot mendatar $y_{1}$ adalah $y=3$ dan berjarak $4$ satuan dengan asimtot mendatar $y_{2}$, sehingga asimtot mendatar $y_{2}$ yang mungkin adalah $y=-1$ atau $y=7$.

Asimtot tegak $y_{1}$ adalah $x=1$ dan $x=4$, salah satu asimtot tegak $y_1$ merupakan asimtot tegak $y_{2}$ karena disampaikan pada soal "kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama".

Kita pilih asimtot yang sama adalah $x=1$ sehingga pada $y_{2}$ penyebut $bx^{2}+2x-3$ adalah $0$ untuk $x=1$.
$bx^{2}+2x-3=0$
$b(1)^{2}+2(1)-3=0$
$b-1=0$
$b=1$

Karena $b=1$ maka $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{x^{2}+2x-3}$ dan asimtot mendatar adalah $y= \dfrac{a}{1}=a$.

Nilai $y=a$ yang memenuhi pada pilihan adalah $7$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 7$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.13

Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\
& = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.14

Jika garis singgung dari $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ dititik $x=\pi$ memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$. Nilai $c$ adalah...
$(A)\ -\dfrac{1}{4}\pi$
$(B)\ -\dfrac{1}{2}\pi$
$(C)\ -\pi $
$(D)\ \dfrac{1}{2}\pi $
$(E)\ \pi$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini, fungsi $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ sepertinya tidak terlalu diperhitungkan karena dari kalimat garis singgung memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$ artinya $(\pi,0)$ akan memenuhi untuk garis singgung kurva dan garis $y=x+c$.

Karena $(\pi,0)$ berlaku untuk $y=x+c$ maka $0=\pi+c$, diperoleh nilai $c=-\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ -\pi$

Soal SBMPTN 2017 Kode 106 No.15

Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah adalah ...
$(A)\ 0,04$
$(B)\ 0,10$
$(C)\ 0,16$
$(D)\ 0,32$
$(E)\ 0,40$

Alternatif Pembahasan: show

Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih

Kasus I: dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}+\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{25}$

Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus II: dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$

Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah peluang kasus pertama atau peluang kasus kedua $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0,4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 0,4$

Soal secara lengkap untuk mata pelajaran yang lain bisa di download (*Soal Lengkap). Beberapa pembahasan soal SBMPTN 2017 Matematika SAINTEK Kode 106 di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Apabila ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Belajar pertidaksamaan Bentuk akar;

Bagikan Artikel ini